Gravitationsfeldstärke

Unverändert vom Massenpunkt (§ 4) übernehmen lassen sich die Ausdrücke der Komponenten
Γ
μ
ν
α
{\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }} des Gravitationsfeldes durch die Funktion
f
{\displaystyle f} und die linken Seiten der Feldgleichungen. Man erhält im ganzen folgendes System von Gleichungen, wenn man sich wiederum auf den Äquator
(
x
2
=
0
)
{\displaystyle \left(x_{2}=0\right)} beschränkt:

Erstens die drei Feldgleichungen:

−
1
2
∂
∂
x
1
(
1
f
1
∂
f
1
∂
x
1
)
+
1
4
1
f
1
2
(
∂
f
1
∂
x
1
)
2
+
1
2
1
f
2
2
(
∂
f
2
∂
x
1
)
2
+
1
4
1
f
4
2
(
∂
f
4
∂
x
1
)
2
=
−
ϰ
2
f
1
(
ρ
0
−
p
)
(
a
)
+
1
2
∂
∂
x
1
(
1
f
1
∂
f
2
∂
x
1
)
−
1
−
1
2
1
f
1
f
2
(
∂
f
2
∂
x
1
)
2
=
−
ϰ
2
f
2
(
ρ
0
−
p
)
(
b
)
−
1
2
∂
∂
x
1
(
1
f
1
∂
f
4
∂
x
1
)
+
1
2
1
f
1
f
4
(
∂
f
4
∂
x
1
)
2
=
−
ϰ
2
f
4
(
ρ
0
+
3
p
)
.
(
c
)
{\displaystyle {\begin{array}{lllc}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {1}{f_{1}}}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right)+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{f_{1}^{2}}}\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}&+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{f_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{f_{4}^{2}}}\left({\frac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}&=-{\frac {\varkappa }{2}}f_{1}\left(\rho _{0}-p\right)&{\mathsf {(a)}}\\\\+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {1}{f_{1}}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}\right)-1&-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{f_{1}f_{2}}}\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}&=-{\frac {\varkappa }{2}}f_{2}\left(\rho _{0}-p\right)&{\mathsf {(b)}}\\\\-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {1}{f_{1}}}{\frac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}}\right)&+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{f_{1}f_{4}}}\left({\frac {\partial f_{4}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}&=-{\frac {\varkappa }{2}}f_{4}\left(\rho _{0}+3p\right).&{\mathsf {(c)}}\end{array}}}
Dazu kommt die Determinantengleichung:

f
1
f
2
2
f
4
=
1.
{\displaystyle f_{1}f_{2}^{2}f_{4}=1.}