Kugel

Wir haben uns mal überlegt, daß das Volumen eines Hyperkugeloberkörpers das Integral aller Schnittkugeloberflächen von -r bis r ist, weil wir uns dachten, daß bei einer normalen Kugel die Oberfläche ja eigentlich auch das Integral aller Schnittkreisumfänge von -r bis r sein müßte.

Ich hab dann mal versucht, aus diesem Ansatz die bekannte Oberflächenformel herzuleiten, um zu prüfen, ob der Gedanke stimmen kann, hab's aber irgendwie nicht hinbekommen.
Kann das jemand und sagt mir des Rätsels Lösung???