Korrelationskoeffizient

Varianz von Linearkombinationen, Kovarianz, Korrelationskoeffizient

Der Erwartungswert ist als eine lineare Funktion definiert worden (Gl. 1.4). Daher ist der Erwartungswert einer
Linearkombination von Zufallsvariablen gleich der Linearkombination der Erwartungswerte (Gl. 1.6). Die Varianz jedoch ist
eine quadratische Funktion, also nicht linear.

Mit Hilfe von Gleichung (1.8) kann man leicht die Varianz der Linearkombination zweier Zufallsvariablen x und y berechnen:


(1.10)


Man sieht, daß im allgemeinen die Varianz der Linearkombination nicht identisch mit der Linearkombination der Varianzen ist!

Eine Betrachtung des Produktes zweier Zufallsvariablen führt uns weiter. Der Erwartungswert des Produktes von x und y ist


(1.11)


Sind x und y unabhängig voneinander, dann gilt nach Gl. (1.2) pij=pi qj, wobei pi die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von
Ereignissen ist, die mit der Zufallsvariablen x beschrieben werden, und qj entsprechend die Wahrscheinlichkeit für Ereignisse y.
Setzt man dies in Gl. (1.11) ein, so ergibt sich

=



=

(1.12)


Dies bedeutet, daß für unabhängige Variablen der Erwartungswert der Produktes gleich dem Produkt der Erwartungswerte ist.
In diesem Falle verschwindet der dritte Term in Gleichung (1.10), so daß für unabhängige Variablen gilt


(1.13)


Dies motiviert die Definition der Kovarianz 1.1


(1.14)


Wenn x und y unabhängig sind, dann ist cov(x,y)=0. In engem Zusammenhang zur Kovarianz steht der Korrelationskoeffizient


(1.15)


Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für die Korrelation (oder Anti-Korrelation) zweier Variablen. Aufgrund der gewählten
Definition liegt der Wert des Korrelationskoeffizienten zwischen -1 und 1.