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Für Snuggles:
Innerhalb der Menge der Natürlichen Zahlen kann man keine größere Zahl von einer kleineren abziehen. weil das Ergebnis eine Zahl wäre, die nicht zur Menge der Natürlichen Zahlen gehört.
Darum ist das Tupel (N,-) auch keine Algebraische Struktur.
Innerhalb der Menge der Ganzen Zahlen darf sehr wohl eine größere Zahl von einer kleineren Zahl abgezogen werden, da die Negativen Zahlen (und die Null) zu den Ganzen Zahlen gehören. Deswegen ist das Tupel (G,-) auch eine Algebraische Struktur, nur mangels des Assoziativgesetz ist es kein Monoid.
Was in der Menge der Ganzen Zahlen nicht funktioniert ist, daß man eine belibige ganze Zahl durch eine andere belibige, teilerfremde ganze Zahl dividiert.
Darum ist (G,:) wiederum keine Algebraische Struktur.
In der menge der Rationalen Zahlen wiederum läßt sich jede Zahl durch jede Zahl dividieren. Darum ist das Tupel (Q,:) eine Algebraische Struktur.
In der Menge der Rationalen Zahlen wiederum gibt es positive rationale Zahlen, deren Wurzel keine Rationale Zahl ist. Diese nicht Rationalen Zahlen nennt man irrationale Zahlen.
Die Vereinigungsmenge der Rationalen Zahlen und der viel größeren Menge der Irrationalen Zahlen nennt man die Menge der reellen Zahlen.
Da die Wurzel negativer reeller Wurzeln (eigentlich ist es ja nur die Wurzel von -1) aus der Menge der realen Zahlen herausführt, wurde die Menge der komplexen Zahlen eingeführt (sozusagen ein zweidimensionales Gebilde aus reellen Zahlen und imaginären Zahlen, mit eingeschränkten eigenen Regeln. So gilt zwar wie in der normalen Addition: (a1,a2) + (b1,b2) = (a1+b1,a2+b2). Aber in der Multiplikation gilt: (a1,a2) * (b1,b2) = (a1*b1)-(a2*b2),(a1*b2)+(a2*b1)).
Nach den komplexen Zahlen kommen noch die Quaternionen von Hamilton, und die Oktaven.
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