Hilbertraum

Der Hilbertraum mit seinen (sehr oft) unendlich vielen Dimensionen ist ein gutes Beispiel dafür, daß der Versuch, sich alles anschaulich vorzustellen, mitunter kontraproduktiv sein kann. Denn sich einen solchen Raum - womöglich im geometrischen Sinn - vorzustellen, ist keinem möglich.
Vom rein formalen Standpunkt aus ist dies dagegen auch ein Vektorraum, wenn auch mit manchen überraschenden Eigenschaften. Da braucht man dann nur die entsprechenden Elemente, die dann eben Vektoren sind, und Verknüpfungen dafür, und das formale Rechnen damit ist nicht besonders schwierig.
Ein simpler Vektorraum mit unendlich vielen Dimensionen ist etwa der Raum der stetigen Funktionen, die auf dem abgeschlossenen Intervall von 0 bis 1 definiert sind. Man kann sich leicht davon überzeugen, daß dies ein Vektorraum ist, doch es läßst sich eben noch nicht mal eine Basis für diesen Raum angeben, obwohl die einzelnen Funktionen (=Vektoren bei dieser Betrachtungsweise) durchaus keine übermäßig komplizierten Objekte sind.