Unendlichkeit

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Von Zeit und Veränderung

Als unser Paar das nächste Mal den Turm des Zauberers erklomm, befand sich ihr Gastgeber in einer besonders philosophischen Stimmung. Er hatte den Morgen mit der Lektüre früher griechischer und chinesischer Philosophie verbracht. »Die Zeit ist wirklich eine seltsame Sache«, sagte er. »Einige Mystiker haben behauptet, daß Zeit etwas Unwirkliches ist, und es gibt Zeiten, da neige ich dazu, ihnen zuzustimmen !« »Ich verstehe«, sagte Annabel. »Zeitweise geben Sie ihnen recht, und zu anderen Zeiten tun Sie es nicht, ist es das ?« »So ungefähr«, lachte der Zauberer. »Und da wir schon über Zeit sprechen, muß ich euch eine wunderbare Passage vorlesen, die ich gerade in einem Werk des antiken chinesischen Philosophen Chuangtse gefunden habe.«

Da war ein Anfang. Da war eine Zeit vor diesem Anfang. Und da war eine Zeit vor dieser Zeit,

die vor diesem Anfang war. Da war das Sein. Da war das Nicht-Sein. Da gab es eine Zeit vor diesem

Nicht-Sein. Und da gab es eine Zeit vor der Zeit, die vor diesem Nicht-Sein war, Plötzlich gibt

es Sein und Nicht-Sein, doch ich weiß nicht, welches davon wirklich Sein oder Nicht-Sein ist.

Ich habe gerade etwas gesagt, aber ich weiß nicht, ob das, was ich gesagt habe, wirklich

etwas aussagt oder aber nichts aussagt.

Seine beiden Zuhörer lachten herzlich, vor allem über die letzte Zeile. Diese Passage erinnert mich auch an Smullyans Rezept für Unsterblichkeit», fuhr der Zauberer fort. «Kennt ihr es ?» «Nein», antwortete Alexander. «Das muß ich hören!» «Es ist eigentlich ganz einfach : Alles, was man tun muß, um unsterblich zu werden, sind folgende zwei Dinge : (1) Immer die Wahrheit sagen; in der Zukunft niemals falsche Aussagen machen. (2) Einfach sagen : <Ich werde diesen Satz morgen wiederholen !> Wenn ihr diese beiden Dinge beachtet, garantiere ich euch, daß ihr ewig leben werdet!» Natürlich hatte der Zauberer recht: Wenn man heute wahrheitsgemäß sagt :«Ich werde diesen Satz morgen wiederholen», dann wird man genau das morgen auch tun. Vorausgesetzt, man bleibt morgen bei der Wahrheit, dann wird man den Satz am nächsten Tag wiederholen, dann am nächsten Tag, dann am nächsten Tag... «Theoretisch ist der Plan perfekt», sagte Annabel, «aber er ist wohl kaum sehr praktikabel !» «Das erinnert mich an den Plan des Weißen Ritters, über ein Tor zu steigen», bemerkte Alexander. «Um welchen Plan geht es ?» fragte der Zauberer (der offensichtlich nie Alice im Wuderland und Alice hinter den Spiegeln gelesen hatte). «So wie der Weiße Ritter erklärt hat», sagte Alexander, «sind das einzige Problem die Füße: Der Kopf ist bereits hoch genug. Also legt man zunächst den Kopf auf das Tor - dann ist der Kopf hoch genug; danach stellt man sich auf den Kopf - dann sind die Füße hoch genug - nicht wahr ? - und dann ist man offensichtlich drüber. » «Sehr gut», lachte der Zauberer. «und zu Annabels Meinung, daß Smullyans Plan nicht durchführbar sei, möchte ich folgendes sagen : Smullyan stellte diesen Plan in der sehr amüsanten Geschichte eines Mannes auf der Suche nach der Unsterblichkeit vor. Dieser besuchte im Osten einen großen Weisen, von dem behauptet wurde, er sei ein Experte auf diesem Gebiet. Der Weise erklärte ihm, wie man unsterblich wird, aber der Mann wandte genau wie Annabel ein, daß der Plan praktisch nicht durchführbar sei. Er sagte zu dem Weisen : <Wie kann ich ehrlich behaupten, daß ich diesen Satz morgen wiederholen werde, wenn ich nicht weiß, ob ich dann noch am Leben bin ?> <Oh>, antwortete der Weise: <du wolltest eine praktische Lösung! Nun, ich verstehe sehr wenig von der Praxis; mein Gebiet ist die Theorie.>» Annabel und Alexander hatten an dieser Geschichte viel Freude. «Wo wir gerade von Unsterblichkeit sprechen», sagte der Zauberer, «kommt mir in den Sinn, daß mein Onkel - der an allen logischen und philosophischen Fragestellungen sehr interessiert war, einen bemerkenswerten Beweis dafür gab, daß es logisch unmöglich ist zu sterben. Würdet ihr diesen gerne kennenlernen?» «O ja!» riefen die beiden gleichzeitig. «Also, mein Onkel erzählte es so: Wenn eine Person stirbt, wann stirbt sie dann ? Sie kann nicht sterben, wenn sie tot ist, denn wenn sie einmal tot ist, kann sie nicht mehr sterben - sie ist schon tot. Andererseits kann sie nicht sterben, wenn sie noch lebt, denn sonst wäre sie gleichzeitig tot und lebendig, was nicht möglich ist. Insgesamt kann sie also überhaupt nicht sterben.» «Ich würde sagen», meinte Annabel nach einigem Nachdenken, «daß sie in dem Moment, in dem sie stirbt, weder tot noch lebendig ist. Dies ist der Übergangsmoment zwischen Leben und Tod.» «Das klingt vernünftig», sagte Alexander. «Nein», erwiderte der Zauberer, «so leicht kommst du nicht aus der Zwickmühle! Mit <tot> meine ich: nicht länger lebend. Um jede semantische Verwirrung zu vermeiden, drücke ich es noch anders aus: Ist in dem Moment, in dem eine Person stirbt, diese lebendig oder nicht ?» Sie dachten noch einmal darüber nach. « Hängt dies mit Zenos Beweis über die Unmöglichkeit von Bewegung zusammen ?» fragte Annabel. «Da ist was dran», antwortete der Zauberer. «Tatsächlich kann man die Argumentation meines Onkels verallgemeinern und erhält so einen neuen Beweis der Unmöglichkeit von Bewegung.» «Wie lauten Zenos Argumente?» fragte Alexander. «Ich habe von ihnen gehört, nicht aber sie selbst.» «Ich habe sie gelesen», sagte Annabel, «aber ich konnte nie genau herausfinden, wo die Fehler liegen. Sie müssen Fehler enthalten, denn offensichtlich bewegen sich Dinge. Nun, worin stecken die Fehler ?» «Zeno gab drei Beweise an», antwortete der Zauberer. «Darüber hinaus gibt es einen vierten Beweis, aber dieser wurde nur unvollständig überlieefert, und es scheint keine allgemeine Übereinstimmung darüber zu geben, wie dieser Beweis aussieht. Darum werde ich mich auf die ersten drei Beschränken. Das erste Argument lautet folgendermaßen : Nehmen wir an, daß sich ein Objekt von Punkt A nach Punkt B bewegt. Bevor es Punkt B erreicht, kommt es zu Punkt A1, der auf halben Weg zwischen A und B liegt, nennen wir dies den ersten Schritt. Nach Beendigung des ersten Schrittes muß der Körper von A1 zum Punkt A2 gelangen, der wieder auf halben Weg zwischen A1 und B liegt.; dieses sei der zweite Schritt. Danach wird ein dritter Schritt erforderlich, nämlich von A2 zu Punkt A3 genau zwischen A2 und B, und so weiter.

A--------------------------------A1----------------A2---------A3----A4--A5-B

Der Körper wird den Punkt B nach keiner endlichen Anzahl von Schritten erreichen; damit gilt für jede positive ganze Zahl n, daß der Körper, nachdem er die ersten n Schritte gemacht hat und an einem Punk A n angekommen ist, immer noch einen weiteren Schritt machen muß und dann am Punkt A n +1 in der Mitte zwischen A n und b ankommt. Also muß der Körper unendlich viele Schritte machen, um zu Punkt B zu gelangen, und weil dies in einer endlichen Zeitspanne unmöglich ist, kann sich das Objekt nicht von A nach B bewegen. Andersherum betrachtet, muß das Objekt auf dem Weg von A nach B zuerst den Mittelpunkt B1 erreichen; aber ehe es zu B1 gelangen kann, muß es erst zum Punkt B2 zwischen A und B1 gelangen; aber bevor es das tun kann, muß erst der Punkt B3 zwischen A und B2 erreicht werde, und so weiter. Demnach kann der Körper nicht einmal starten !

A-B5--B4----B3--------B2----------------B1--------------------------------B

Zenos zweite Argumentation basiert auf dem Versuch des Achilles, eine Schildkröte zu überholen. Legen wir zunächst fest, daß Achilles 100 m hinter der Schildkröte zurückliegt und daß er zehnmal schneller läuft als sie. Sein erster Schritt besteht darin, zu dem Punkt zu laufen, an dem sich die Schildkröte jetzt befindet, das heißt, er läuft 100 m weit. Wenn er diesen Punkt erreicht, wird die Schildkröte nicht mehr dort sein; sie wird sich 10 m vorwärts bewegt haben. Dann unternimmt Achilles den zweiten Schritt - er läuft 10 m, um den Punkt zu erreichen, an dem sich die Schildkröte nach Beendigung des ersten Schrittes befand, aber wenn er dort ankommt, wird sie einen Meter weiter gelaufen (oder besser gegangen) sein. Wenn dann Achilles auch diesen Meter zurückgelegt hat, wird die Schildkröte immer noch 1/10 Meter entfernt sein, und so fort. Mit anderen Worten, immer wenn Achilles den Platz erreicht, an dem die Schildkröte zuvor gewesen ist, wird sie nicht mehr dort sein. Daraus folgt, daß Achilles die Schildkröte niemals überholen kann. Zenos dritten Beweis der Unmöglichkeit von Bewegung finde ich am raffiniertesten; es ist der Beweis anhand eines fliegende Pfeiles. Angenommen, ein Pfeil fliegt während eines bestimmten Zeitintervalls kontinuierlich geradeaus. Man nehme irgendeinen Augenblick dieses Zeitintervalls. Es ist unmöglich, daß sich der Pfeil während dieses Augenblicks bewegt, da ein Augenblick keine Dauer, also die Dauer Null hat, und sich ein Pfeil nicht gleichzeitig an zwei verschiedenen Orten befinden kann. Dementsprechend ist der Pfeil in jedem Augenblick bewegungslos und damit auch bewegungslos während des ganzen Intervalls. das bedeutet, daß er sich während dieser Zeitspanne nicht bewegen kann!» «Jetzt, wo Sie mich daran erinnern, fallen mir diese Beweise wieder ein», sagte Annabel, «und sie verwirren mich immer wieder. Sicher, etwas muß daran falsch sein, denn offensichtlich bewegen sich Dinge, aber was genau ist daran falsch ? Gibt es denn keine logische Erklärung ? Oder hat Logik an sich Fehler ?» «Nein, Logik an sich ist nicht fehlerhaft», lachte der Zauberer, «und es gibt mit Sicherheit eine vollkommen logische Erklärung der Fehler in Zenos Argumentation. Ich bin wirklich überrascht, daß sich Menschen von den ersten beiden Beweisen hereinlegen lassen; beim dritten ist das verständlicher, denn dieser ist schwerer zu durchschauen.» «Und worin bestehen die Fehler ?» fragte Alexander. «Nun, laßt uns mit dem ersten Beweis beginnen», sagte der Zauberer. «In jeder Argumentation, die zu einer falschen Schlußfolgerung führt, muß es irgendwo einen falschen Schritt geben und damit auch einen ersten falschen Schritt. Worin besteht also der erste Trugschluß in Zenos erster Argumentation ?» Die beiden dachten eine Weile darüber nach. «Ich kann keinen falschen Schritt darin entdecken», antwortete Alexander; «jeder Schritt scheint mir logisch.» «Mir auch», sagte Annabel. «Also wirklich!» empörte sich der Zauberer. «Selbst die Schlußfolgerung erscheint euch richtig ?» «Natürlich nicht!» erwiderte Annabel. «Die Schlußfolgerung ist absolut falsch. Offensichtlich bewegen sich Dinge.» «Nun, wenn die Schlußfolgerung falsch und jeder Schritt vor der Schlußfolgerung richtig ist, dann ist automatisch der erste falsche Schritt die Schlußfolgerung selber.» «Darauf bin ich nie gekommen!» sagte Annabel. «Das geht den meisten Leuten so, und das ist das Überraschende!» sagte der Zauberer. «natürlich ist die Schlußfolgerung die erste falsche Aussage! Jedes Objekt muß die von Zeno genannte unendliche Anzahl von Schritten ausführen, aber es ist vollkommen ungerechtfertigt, daraus zu schließen: <Deswegen kann sich das Objekt nicht bewegen.> Worin liegt die Rechtfertigung für diese Schlußfolgerung ? Zeno hat stillschweigend angenommen, daß man innerhalb einer endlichen Zeitspanne keine unendliche Anzahl von Schritten durchführen kann, und diese Annahme ist absolut ungerechtfertigt.» «Diese Annahme erscheint mir vernünftig !» sagte Annabel. «Wie kann die Summe von unendlich vielen Teilen endlich sein ?» «Das passiert in der Mthematik andauernd», erwiderte der Zauberer. «Nehmen wir beispielsweise die unendliche Reihe 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... + 1/2n + ... : sie addiert sich zu 2. Eine solche unendliche Reihe nennt man konvergent; sie konvergiert gegen 2. Andererseits ist die unendliche Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n + .... ein Beispiel für eine divergente Reihe; wenn man genug Terme nimmt, kommt man damit über eine Million hinaus; nimmt man genügend mehr Terme, übersteigt man eine Billion; welche Zahl man auch wählt, die Reihe wird schließlich diese Zahl übertreffen. Von einer solchen divergenten Reihe sagt man auch, daß sie gegen unendlich strebt. Jedenfalls ist die Reihe, die für Zenos erstes Problem relevant ist, gegeben durch 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... Sie konvergiert gegen 1, und darum war Zenos Schlußfolgerung, daß das Objekt niemals von A nach B gelangen könne, völlig ungerechtfertigt. Eine ähnliche Analyse trifft auf Zenos zweite Argumentation zu, also auf die Reihe 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ...+1/10n + ... die sogar noch schneller konvergiert. Die dritte Argumentation, den fliegenden Pfeil betreffend, ist subtiler, und ich fürchte, daß ihr nicht genug mathematische Kenntnisse habt, um die Lösung zu verstehen. Diejenigen, die sich mit Infinitesmalrechnung beschäftigt haben, wissen, daß in jedem Augenblick dieses Intervalls der Pfeil in Bewegung ist und das Zeno sich irrte, als er meinte, daß, wenn der Pfeil in einem Augenblick in Bewegung wäre, er dann in diesem Moment an mehr als einem Ort sein müßte. Natürlich ist der Pfeil in jedem gegebenen Augenblick nur an einer Stelle, aber das impliziert nicht, daß der Pfeil in diesem Momen im Stillstand ist.» «Ich verstehe das nicht», sagte Annabel. «Wenn ein Pfeil in Bewegung zu einem gegebenen Augenblick nur an einer Stelle ist, wie unterscheidet er sich dann von einem stillstehenden Pfeil, der genauso in jedem Augenblick an nur einer Stelle ist ? Wie kann man den Unterschied zwischen diesen beiden Fällen erkennen ?» «Du stellst eine wichtige und tiefgreifende Frage», antwortete der Zauberer, «und das Ziel der Differentialrechnung - oder zumindest eines ihrer wichtigsten Ziele - besteht darin, gerade diese Art von Fragen zu beantworten. Die Erfinder der Infinitesimalrechnung, Newton und Leibniz, haben zum ersten Mal in der Geschichte der Menschheit eine absolut präzise Definition gegeben, was es heißt, daß ein Körper in einem Augenblick in Bewegung ist, und was es bedeutet, wenn man sagt, daß die Geschwindigkeit eines Körpers in einem Augenblick das und das ist. Ich kann euch diese Definition nicht geben, ohne euch vorher einige fundamentale Prinzipien der Infinitesimalrechnung beizubringen. Für jetzt muß es ausreichen, daß die Aussage, daß ein Körper in einem Augenblick eine bestimmte Geschwindigkeit hat, nicht nur eine Aussage über diesen Moment ist, sondern über sukzessiv kleiner und kleiner werdende Zeitintervalle, die diesen Moment umgeben. Ich hoffe, daß ich euch eines Tages eine vollständigere und stichhaltigere Darstellung der Sachlage geben kann.» «Sie haben vorhin gesagt», warf Alexander ein, «daß die Argumentation Ihres Onkels verallgemeinert werden kann, um noch einen weiteren Beweis der Unmöglichkeit von Bewegung zu liefern. Wie soll das funktionieren ?» «Die Argumentation meines Onkels kann verallgemeinert werden, um zu zeigen, daß nichts sich jemals ändern kann - was sicherlich den Philosophen Parmendis erfreut hätte ! Sagen wir, etwas verändert sich von einem Zustand - nennen wir ihn Zustand A - zu etwas außerhalb dieses Zustand A. In welchem Moment kann es sich verändern ? Es kann sich nicht verändern, wenn es außerhalb des Zustands A ist, denn dann ist es bereits außerhalb des Zustands A. Und es kann sich nicht verändern, während es noch im Zustand A ist, denn sonst wäre es gleichzeitig im Zustand A und nicht im Zustand A. Und niemand soll mir erzählen, daß es im Moment des Wechsels weder im Zustand A noch außerhalb von Zustand A ist, denn mit außerhalb von Zustand A meine ich nicht im Zustand A, und es ist logischweise unmöglich, gleichzeitig weder im Zustand A noch nicht im Zustand A zu sein. »In welcher Hinsicht liefert das einen weiteren Beweis für die Unmöglichkeit von Bewegung ?« fragte Alexander. »Nun, offensichtlich verändert ein Objekt, wenn es sich von einer gegebenen Position wegbewegt, seinen Zustand vom Sein in dieser Position zum Nicht-Sein in dieser Position. Wenn also der Wechsel von einem Zustand zu einem anderen unmöglich ist, dann ist Bewegung unmöglich... Ja, Zeit und Veränderung sind seltsame Dinge ! Was genau ist überhaupt Zeit ? Wie schon Augustinus sagte : <Wenn man mich fragt, was Zeit ist, dann weiß ich es nicht; wenn ich nicht gefragt werde, dann weiß ich es !> Da wir gerade von der Zeit reden; ich habe gehört, daß ihr beide uns für eine Weile verlassen werdet ?« »Ja«, antwortete Annabel, »morgen segeln wir nach Hause. Meine Schwester, Prinzessin Gertrude, feiert ihre Hochzeit.« »Wie lange werdet ihr wegbleiben ?« fragte der Zauberer. »Wahrscheinlich einige Monate«, antwortete Annabel. »Es gibt eine Menge Angelegenheiten, um die Alexander und ich uns zu Hause kümmern müssen. Aber wir haben definitiv vor, zurückzukommen. Wir denken sogar darüber nach, uns hier anzusiedeln. Wir beide sind nämlich vom Thema Logik vollkommen fasziniert. Niemand zu Hause scheint etwas davon zu verstehen. Sie wissen gar nicht, wie dankbar wir Ihnen für all das sind, was sie uns gelehrt haben ! Ich fange nun an zu verstehen, daß wir noch so viel lernen müssen ! Wenn wir zurückkommen, könnten Sie uns dann etwas über die Unendlichkeit erzählen ? Das ist ein Gebiet, das mich immer fasziniert und verwirrt hat !« »Ah, ja !« sagte der Zauberer. »Die Unendlichkeit. Das ist ein Thema, in der Tat ! Ich verspreche euch : wenn ihr zurückkommt, gebe ich euch eine Führung durch die Unendlichkeit. Kommt also bald zurück, und gute Reise !«

HIER GEHTS WEITER IN DIE UNENDLICHKEIT


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Paradoxon :

1. Feststellung : Gott ist allmächtig

2. Feststellung : Daraus folgert : Er kann alles schaffen, nichts ist unmöglich.

3. Aufgabe für Gott : Schaffe einen Berg oder Planeten, der so unendlich schwer ist , daß selbst Gott ihn nicht mehr bewegen kann.

4. Resultat : Egal wie es ausgeht, es ist unmöglich, denn wenn er den Berg nicht mehr bewegen kann, dann kann er doch nicht alles. Und wenn er ihn bewegen kann, dann konnte er die Aufgabe nicht erfüllen.